解三角形 - DGSO百科

解三角形 百科内容来自于: 百度百科

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 解三角形,常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。

常用定理

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆半径)。

变形公式

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c
(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB
(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC

余弦定理

a²=b²+c² -2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC
注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式

cosC=(a ²+b ²-c ²)/2ab
cosB=(a ²+c ²-b ²)/2ac
cosA=(c ²+b ²-a ²)/2bc

海伦-秦九韶公式

p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。
已知三条中线求面积
方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc,
则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ;
方法二:已知三边a,b,c ;
则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2 ;

形状判断

b²+c²=a² cosA=0 A=90° 直角
  
b²+c²<a² cosA<0 A>90° 钝角
  
b²+c²>a² cosA>0 A<90° 锐角 ※a边必须是最大边
勾股定理只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)
a ²+b ²=c ², 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5。他们分别是3,4和5的倍数。
常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26等等。

解三角形

已知条件:一边和两角(如a、B、C,或a、A、B)
一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时,有一解。
已知条件:两边和夹角(如a、b、C)
一般解法:由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时有一解。
已知条件:三边(如a、b、c)
一般解法:由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解时只有一解。
已知条件:两边和其中一边的对角(如a、b、A)
一般解法:由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°求出角C,再利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边,再求出其余两角B、C)①若a>b,则A>B有唯一解;②若b>a,且b>a>bsinA有两解;③若a<bsinA则无解。