等边三角形 - DGSO百科

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等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形,其三个内角相等,均为60°,它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。

尺规作法

可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

性质

(1)等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
三线合一
(2)等边三角形每条边上的中线高线角平分线互相重合(三线合一
(3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线。
(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。(因为等边三角形是特殊的等腰三角形)

判定方法

(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义).
(2)三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.
(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形.
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形
等边三角形的性质与判定理解:
首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

复数性质

A,B,C三点的复数构成正三角形 等价于 A+wB+w 2C=0 。
其中w=cos(2π/3)+isin(2π/3) ;1+w+w 2=0。

相关公式

等边三角形与圆的有关计算公式
边长关系
h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na²cot(π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²表示内切圆面积,
SR=πR²=1/3πa²表示外接圆面积。
例:试证等边三角形的高和其边长的比为 √(3/4):1
证明:
作等边三角形的一条高,将等边三角形分为两个全等的直角三角形,
设这个等边三角形的边长为a,则其中一个直角三角形一条直角边长为1/2a,斜边为a(即该等边三角形.由勾股定理,(直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方),得另一条直角边(即该等边三角形的高)为 √a^2-(1/2a)^2 = √(3/4a) ,即证.
由上,可推导出等边三角形的面积公式
S=1/2ah= (1/2)a×[√(3/4a)]= [(√3)/4]×a²

举例证明

有关问题的证明
已知:△ABC中,∠A=60°,且AB+AC=a,
求证:当三角形的周长最短时,三角形是等边三角形。
证明:AC=a-AB
BC 2=AB 2+AC 2-2AB*AC*cosA
BC 2=AB 2+AC 2-AB*AC=AB 2+(a-AB) 2-AB*(a-AB)=3AB 2-3a*AB+a 2=3(AB-a/2) 2+a 2/4
所以当AB=a/2时,BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
这时,周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以当周长最短时的三角形是正三角形。