海伦公式 - DGSO百科

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海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为:S=√p(p-a)(p-b)(p-c),它的特点是形式漂亮,便于记忆。 相传这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中,所以被称为海伦公式,中国的三角形三边计算面积公式由秦九韶求得。

公式表述

海伦公式:
假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积
可由以下公式求得:
而公式里的p为半周长(周长的一半):
注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
它的特点是形式漂亮,便于记忆。

验证推导

勾股定理
证明:如图
,根据勾股定理
得:
此时
为变形④,故得证。
勾股定理证明海伦公式

勾股定理证明海伦公式

斯氏定理
边上
上任取一点
,若
则:
证明:
由证一可知:
此时
为变形⑤,故得证。
斯氏定理证明海伦公式

斯氏定理证明海伦公式

恒等式
若∠
那么:
证明,如图:
根据恒等式,得:
将上面代入,得:
∴④
如图可知:
代入④,得:
两边同乘以
,得:
两边开方得出海伦公式,标记

恒等式证明⑴

恒等式证明⑴

恒等式证明⑵

恒等式证明⑵

推广拓展

一般来讲仅用四边长无法表达某个四边形面积(某些特例除外),必须添加某些条件,比如角、对角线等。
波罗摩笈多(Brahmagupta)在公元7世纪初的一部论及天文的著作中,给出了用四边长a、b、c、d表达圆内接四边形面积的公式。
其中:
公式无论从形式上还是内容上都是海伦公式的延拓与推广,但它仅适用于圆内接四边形。当然,
为四边形对角和之半时,依然有公式:
由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式,但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

发展简史

古希腊的数学发
阿基米德

阿基米德

展到亚历山大里亚时期,数学的应用得到了很大的发展,其突出的一点就是三角术的发展,在解三角形的过程中,其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。
这个问题是由古希腊数学家阿基米德解决的,但现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式,称此公式为海伦公式,因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中,并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。
中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”,它与海伦公式等价,它填补了我国数学史中的一个空白,从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平。

公式意义

海伦公式的提出为三角形的面积计算提供了方法和思路,在知
道三角形三边的长而不知道高的情况下使用伦公式显然更快更简便。