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三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

定义

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6组四点共圆。

口诀

三角形上作三高,三高必于垂心交。
高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角有十二,构成九对相似形,
四点共圆图中有,细心分析可找清。

性质

设△ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、
C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.
1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外 .
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上。
4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH ·HD=BH ·HE=CH ·HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP ·tanB+AC/AQ ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。
9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形,最早在古希腊时期由海伦发现)。
11、西姆松定理(西姆松线):从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
12、 设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
13、设H为非直角三角形的垂心,且D、E、F分别为H在BC,CA,AB上的射影,H 1,H 2,H 3分别为△AEF,△BDF,△CDE的垂心,则△DEF≌△H 1H 2H 3
14、三角形垂心H的垂足三角形的三边,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
15、三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。(垂心伴随外接圆,必有平行四边形)
推论(垂心余弦定理):锐角三角形ABC的垂心为H,则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R(可引入有向距,推广到任意三角形)
16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段,靠近顶点的那段长度为高的三分之二。

证明

如图,虽然“角”的符号成了乱码,但大家应该能看懂。CF为要证的高;两个角(DOC与BAD)相等后利用相似证,此部分从略。直角三角形的情况,直角顶点显然是垂心;钝角——大家没发现三角形OBC垂心就是A吗?
垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量(与外心一样):
d 1,d 2,d 3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c 1=d 2d 3,c 2=d 1d 3,c 3=d 1d 2;c=c 1+c 2+c 3
垂心坐标:( c 1/c,c 2/c,c 3/c )。

向径

条件

设点H为锐角三角形ABC的垂心,向量OH= h,向量OA= a,向量OB= b,向量OC= c
垂心坐标的解析解:
设三个顶点的坐标分别为(a 1,b 1)、(a 2,b 2)、(a 3,b 3),那么垂心坐标
其中,
垂心的向量特征:三角形ABC内一点O,向量OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心

证明

OA· OB= OB· OC,得
OA· OB- OC· OB=0
∴( OA- OCOB=0
CA·OB=0,即 OB垂直于 AC
同理由 OB·OC=OC·OA,可得 OC垂直于 AB
OA·OB=OC·OA,得 OA垂直于 BC
∴点O是三角形的垂心。