中位线定理 - DGSO百科

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概念

中位线概念

(1)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线
(2)梯形中位线定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意

(1)要把三角形的中位线三角形中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段,而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
(4)三角形有三条中位线,首尾相接时,小三角形面积等于原三角形的四分之一,这四个三角形都互相全等。

定理

(1)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.

例题

中位线定理证明

中位线定理证明

已知:如图,DE是△ABC的中位线
求证:DE∥BC DE=1/2 BC
证明:延长DE至F,使EF=DE,连接CF
∵DE是△ABC的中位线
∴AE=CE
在△ADE和△CFE中
∵AE=CE(已证),∠AED=∠CEF(对顶角相等),DE=EF(已作)
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴AD=CF(全等三角形对应边相等)
∠ADE=∠F(全等三角形对应角相等)
∴BD∥CF(内错角相等,两直线平行)
∵AD=BD
∴BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE//BC,DE=1/2DF=1/2BC

证明

已知△ABC中,D、E分别是AB、AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2
方法一:几何法
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
方法二:坐标
设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)²
另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
方法三
延长DE到点G,使EG=DE,连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
方法四:向量 DE= DA+ AE=( BA+ AC)/2= BC/2
∴DE//BC且DE=BC/2